फलन $y = |\sin x|$ किसी भी $x$ के लिए सतत है,लेकिन यह किस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है?

मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x-x^2+(x-1) \sin x$ द्वारा परिभाषित किया गया है और $g: R \rightarrow R$ एक स्वेच्छ फलन है। मान लीजिए $f g: R \rightarrow R$ गुणन फलन है जिसे $(f g)(x)=f(x) g(x)$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ यदि $g$,$x=1$ पर सतत है,तो $f g$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(B)$ यदि $fg$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो $g$,$x=1$ पर सतत है
$(C)$ यदि $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो $f g$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(D)$ यदि $fg$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

उन सभी बिंदुओं का समुच्चय,जहाँ फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ का अवकलज विद्यमान है,है

मान लीजिए $f(x)=|1-2 x|$, तो

मान लीजिए कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, जहाँ $f^{\prime}(x)$ सतत है, $f^{\prime}(0)=1$ और $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है। यदि $g(x)=x f^{\prime}(x)$ है, तो,