frac{dy}{dx} = frac{x^3(y^4+1)}{left[2y^{-2/3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3x^2y^{-2/3}\right]^{3/2}} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[y^{-2/3}(2+3x^2)\right]^{3/2}}

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{4}{9}\left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3x^2y^{-2/3}\right]^{3/2}} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[y^{-2/3}(2+3x^2)\right]^{3/2}} = \frac{x^3 y(y^4+1)}{(2+3x^2)^{3/2}}$.ચલને અલગ કરતા, આપણને મળે છે $\int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$.ડાબી બાજુ માટે, $I_1 = \int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{y^3}{y^4(y^4+1)} dy$. ધારો કે $u = y^4$, તો $du = 4y^3 dy$, તેથી $I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u+1)} = \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}\right) du = \frac{1}{4} \log \left|\frac{u}{u+1}\right| = \frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right)$.જમણી બાજુ માટે, $I_2 = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$. ધારો કે $t^2 = 2+3x^2$, તો $2t dt = 6x dx$, તેથી $x dx = \frac{1}{3} t dt$ અને $x^2 = \frac{t^2-2}{3}$.$I_2 = \int \frac{x^2 \cdot x dx}{(t^2)^{3/2}} = \int \frac{(\frac{t^2-2}{3}) \cdot \frac{1}{3} t dt}{t^3} = \frac{1}{9} \int \frac{t^2-2}{t^2} dt = \frac{1}{9} \int (1 - 2t^{-2}) dt = \frac{1}{9} (t + \frac{2}{t}) = \frac{1}{9} \left(\frac{t^2+2}{t}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{2+3x^2+2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right)$.$I_1 = I_2 + C$ ને સરખાવતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C'$.$4$ વડે ગુણતા, $\log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{4}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3\left(\frac{x}{y^{1/3}}\right)^2\right]^{3/2}}$ નું સામાન્ય ઉકેલ શું છે?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(2x - 3y + 5)dx + (9y - 6x - 7)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - xydy = 0$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) = \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $y(x+1) dx - x^2 dy = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=e$ છે. તો $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module