अवकल समीकरण cos (x+y) dy = dx का व्यापक हल है | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) dy = dx$ इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$ माना $x+y = v$ है। तब, $y$ के सापेक्ष अवकलन कर

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$y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight) + c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) dy = dx$ इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$ माना $x+y = v$ है। तब, $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dy} + 1 = \frac{dv}{dy} \implies \frac{dx}{dy} = \frac{dv}{dy} - 1$ इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dy} - 1 = \cos v$ $\frac{dv}{dy} = 1 + \cos v$ चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{1 + \cos v} = \int dy$ सर्वसमिका $1 + \cos v = 2 \cos^2 \frac{v}{2}$ का उपयोग करने पर: $\int \frac{dv}{2 \cos^2 \frac{v}{2}} = \int dy$ $\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{v}{2} dv = \int dy$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $	an \frac{v}{2} = y + c$ $v = x+y$ वापस रखने पर: $	an \frac{x+y}{2} = y + c$ अतः, $y = 	an \frac{x+y}{2} + c$.

अवकल समीकरण $\cos (x+y) dy = dx$ का व्यापक हल है

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $-2 < y < 2$ है।

उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी ढाल किसी भी बिंदु पर $2xy$ के बराबर है और जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है।

यदि $c$ कोई स्वेच्छ अचर है,तो अवकल समीकरण $ydx - xdy = xy\,dx$ का व्यापक हल क्या होगा?

अवकल समीकरण $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$ का व्यापक हल . . . . . . है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $dy=e^{\alpha x+y} dx$ का हल है; $\alpha \in N$। यदि $y(\log_{e} 2)=\log_{e} 2$ और $y(0)=\log_{e}(\frac{1}{2})$ है,तो $\alpha$ का मान $.....$ के बराबर है।

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