मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण dy=e^{alpha x+y} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = e^{\alpha x + y} dx$ है।चरों को अलग करने पर:$e^{-y} dy = e^{\alpha x} dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने

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$2$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = e^{\alpha x + y} dx$ है।चरों को अलग करने पर:$e^{-y} dy = e^{\alpha x} dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int e^{-y} dy = \int e^{\alpha x} dx$$-e^{-y} = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} + C \quad \dots(i)$प्रतिबंध $y(0) = \log_{e}(\frac{1}{2}) = -\log_{e} 2$ का उपयोग करने पर:$-e^{-(-\log_{e} 2)} = \frac{e^{\alpha(0)}}{\alpha} + C$$-e^{\log_{e} 2} = \frac{1}{\alpha} + C$$-2 = \frac{1}{\alpha} + C \quad \dots(ii)$प्रतिबंध $y(\log_{e} 2) = \log_{e} 2$ का उपयोग करने पर:$-e^{-\log_{e} 2} = \frac{e^{\alpha \log_{e} 2}}{\alpha} + C$$-\frac{1}{2} = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} + C \quad \dots(iii)$समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:$(-\frac{1}{2}) - (-2) = \frac{2^{\alpha}}{\alpha} - \frac{1}{\alpha}$$\frac{3}{2} = \frac{2^{\alpha} - 1}{\alpha}$यदि $\alpha = 2$ हो,तो:$\frac{2^{2} - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$।अतः,$\alpha$ का मान $2$ है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $dy=e^{\alpha x+y} dx$ का हल है; $\alpha \in N$। यदि $y(\log_{e} 2)=\log_{e} 2$ और $y(0)=\log_{e}(\frac{1}{2})$ है,तो $\alpha$ का मान $.....$ के बराबर है।

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