अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{x} = x^2 क | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x}

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$xy = \frac{x^4}{4} + C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है। सबसे पहले, हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$. व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर, $y \cdot x = \int (x^2 \cdot x) dx + C$. $xy = \int x^3 dx + C$. $x^3$ का समाकलन करने पर, हमें $xy = \frac{x^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ का व्यापक हल है

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अवकल समीकरण $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

यदि $\log y$,$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P(y) =$

अवकल समीकरण $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x = 1$ होने पर $y = 2$ है।

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