शांकव x^2 - (y - 1)^2 = 1 के ग्राफ में मूल बि | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है,जो $(0, 1)$ पर केंद्रित एक अतिपरवलय है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2(y - 1)\frac{dy}{dx} = 0$,अतः

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$2$

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(C) दिया गया समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है,जो $(0, 1)$ पर केंद्रित एक अतिपरवलय है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2(y - 1)\frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$।चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ और स्पर्श बिंदु $(a, b)$ से गुजरती है,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$ है।ढालों की तुलना करने पर: $\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b(b - 1) = b^2 - b$। $(1)$चूंकि $(a, b)$ अतिपरवलय पर स्थित है: $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ $\Rightarrow a^2 - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow a^2 - b^2 + 2b = 2$। $(2)$$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(b^2 - b) - b^2 + 2b = 2 \Rightarrow b = 2$।अतः $a^2 = 2^2 - 2 = 2$,जिससे $a = \sqrt{2}$ (क्योंकि ढाल धनात्मक है)।अतिपरवलय का मानक रूप $\frac{x^2}{1^2} - \frac{(y - 1)^2}{1^2} = 1$ है,जहाँ $A^2 = 1$ और $B^2 = 1$ है।अतिपरवलय $\frac{X^2}{A^2} - \frac{Y^2}{B^2} = 1$ के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2B^2}{A}$ होती है।यहाँ $A = 1$ और $B = 1$ है,अतः नाभिलंब की लंबाई $\frac{2(1)^2}{1} = 2$ है।

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वक्र $x^2 - y^2 = 1$ की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

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