मान लीजिए O मूलबिंदु है, और P तथा Q आयताकार अ | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $P = (x_1, y_1)$ और $Q = (x_2, y_2)$ अतिपरवलय $xy = 12$ पर स्थित बिंदु हैं। $PQ$ का मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) =

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$\frac{7}{2}$

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(C) मान लीजिए $P = (x_1, y_1)$ और $Q = (x_2, y_2)$ अतिपरवलय $xy = 12$ पर स्थित बिंदु हैं। $PQ$ का मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है। इससे $x_1+x_2 = 1$ और $y_1+y_2 = -1$ प्राप्त होता है। चूंकि $y_i = \frac{12}{x_i}$, हमारे पास $\frac{12}{x_1} + \frac{12}{x_2} = -1$ है, जिसका अर्थ है $12(x_1+x_2) = -x_1x_2$। $x_1+x_2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर, $12(1) = -x_1x_2$, अतः $x_1x_2 = -12$। शीर्षों $O(0,0)$, $P(x_1, y_1)$, और $Q(x_2, y_2)$ वाले $	riangle OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ होता है। $y_i = \frac{12}{x_i}$ रखने पर, क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(\frac{12}{x_2}) - x_2(\frac{12}{x_1})| = 6 |\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2}| = 6 |\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}|$ है। हम जानते हैं कि $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = (1)^2 - 4(-12) = 1 + 48 = 49$, इसलिए $|x_1-x_2| = 7$। अतः, क्षेत्रफल $6 |\frac{7 	imes 1}{-12}| = 6 	imes \frac{7}{12} = \frac{7}{2}$ है।

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