फलन $y = f(x)$ का ग्राफ रेखा $x = 2$ के परितः सममित है,तो

फलन $f(x) = [|x|] - |[x]|$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है:

मान लीजिए कि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ और $g'(x) < 0$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $X$,$S$ से $S$ तक के उन सभी संबंधों $R$ का समुच्चय है जो निम्नलिखित दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
$i$. $R$ में ठीक $6$ अवयव हैं।
$ii$. प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$|a-b| \geq 2$ है।
माना $Y = \{R \in X : R \text{ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है}\}$ और $Z = \{R \in X : R, S \text{ से } S \text{ तक एक फलन है}\}$।
माना $n(A)$,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।
$(1)$ यदि $n(X) = {}^{m}C_{6}$ है,तो $m$ का मान . . . . है।
$(2)$ यदि $n(Y) + n(Z)$ का मान $k^{2}$ है,तो $|k|$ का मान . . . . है।

मान लीजिए $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $1990 < f(1990) < 2100$ और समीकरण $x-f(x)=19[\frac{x}{19}]-90[\frac{f(x)}{90}]$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। तो $f(1990)$ के संभावित मानों की संख्या है

List-$I$ में दिए गए फलनों को List-$II$ में उनके संबंधित लक्षणों के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\sinh x$	$(I)$ प्रांत $(-1, 1)$ है, सम फलन
$(B)$ $\text{sech } x$	$(II)$ प्रांत $[1, \infty)$ है, न तो सम न ही विषम फलन
$(C)$ $\tanh x$	$(III)$ सम फलन
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x$	$(IV)$ परिसर $\mathbb{R}$ है, विषम फलन
	$(V)$ परिसर $(-1, 1)$ है, विषम फलन

सही उत्तर है