સૌથી મોટો ધન પૂર્ણાંક $k,$ જેના માટે $49^k+1$ એ સરવાળા $49^{125}+49^{124}+\ldots+49^{2}+49+1$ નો અવયવ હોય,તે

બે $G$.$P$. $2, 2^{2}, 2^{3}, \ldots$ અને $4, 4^{2}, 4^{3}, \ldots$ ધ્યાનમાં લો,જેમાં અનુક્રમે $60$ અને $n$ પદો છે. જો તમામ $60+n$ પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક $(2)^{\frac{225}{8}}$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{n} k(n-k)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેની શ્રેણીનું કયું પદ $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \ldots$ એ $729$ છે ($\text{મું}$ માં)?

એક કણ ઉગમબિંદુથી શરૂઆત કરે છે અને $1$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{1}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{2}$ એકમ ઊભી ઉપરની તરફ ખસે છે અને $P_{2}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{4}$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{3}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{8}$ એકમ ઊભી નીચેની તરફ ખસે છે અને $P_{4}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{16}$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{5}$ પર પહોંચે છે અને આ રીતે આગળ વધે છે. ધારો કે $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. તો, $(\alpha, \beta)$ શું છે?

$GP$ $2, 8, 32, \ldots$ નું કયું પદ $131072$ છે ($^{\text{th}}$ માં)?

ગણ $\{3^1, 3^2, 3^3, \dots, 3^{20}\}$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ વધતું $G.P.$ બનાવે તેવી રીતોની સંખ્યા શોધો.