a વ્યાસ ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $R = a/2$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે.ભૂમિતિ મુજબ,જો $x$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી શં

Vedclass · Accepted Answer

$(2/3)a$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $R = a/2$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે.ભૂમિતિ મુજબ,જો $x$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી શંકુના પાયા સુધીનું અંતર હોય,તો $h = R + x = a/2 + x$.શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r^2 = R^2 - x^2 = (a/2)^2 - x^2$ દ્વારા મળે છે.શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a/2)^2 - x^2)(a/2 + x)$ છે.આનું વિસ્તરણ કરતા,$V = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - x^2)(a/2 + x) = \frac{\pi}{3} (a^3/8 + a^2x/4 - ax^2/2 - x^3)$.ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,$dV/dx = 0$ લેતા:$dV/dx = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - ax - 3x^2) = 0$.$3x^2 + ax - a^2/4 = 0$.દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(3)(-a^2/4)}}{2(3)} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{6} = \frac{-a \pm 2a}{6}$.કારણ કે $x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x = a/6$.તેથી,ઊંચાઈ $h = a/2 + a/6 = (3a + a)/6 = 4a/6 = (2/3)a$ થાય.

$a$ વ્યાસ ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ કેટલી થાય?

Similar Questions

ધારો કે $f(x)=(x-2)^{17}(x+5)^{24}$. તો

આપેલ પરિમિતિ માટે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હશે જ્યારે લંબચોરસ એક

$x$ ની કઈ કિંમત માટે વિધેય $f(x) = \sin x(1 + \cos x)$ નું મૂલ્ય મહત્તમ થાય છે?

વૃતાંશની પરિમિતિ $p$ છે. જ્યારે વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

સાબિત કરો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેય $x = e$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module