एक नियमित आयताकार पिरामिड की पार्श्व भुजा (lateral edge) $a \text{ cm}$ लंबी है। पार्श्व भुजा आधार के समतल के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। $\alpha$ का वह मान जिसके लिए पिरामिड का आयतन अधिकतम है,है

फलन $f(x) = x(x - 1)(x - 2) \dots (x - 100)$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि वास्तविक रेखा $R$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f$,$R$ में धनात्मक और ऋणात्मक मान ग्रहण करता है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है। उदाहरण के लिए,यदि यह ज्ञात हो कि $R$ पर एक सतत फलन $f$ किसी बिंदु पर धनात्मक है और इसका न्यूनतम मान ऋणात्मक है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=k e^x-x$ पर विचार करें,जहाँ $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
$1.$ रेखा $y=x$,$k \leq 0$ के लिए $y=k e^x$ से कहाँ मिलती है?
$(A)$ किसी बिंदु पर नहीं $(B)$ एक बिंदु पर $(C)$ दो बिंदुओं पर $(D)$ दो से अधिक बिंदुओं पर
$2.$ $k$ का धनात्मक मान जिसके लिए $k e^x-x=0$ का केवल एक मूल है,वह है
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ के लिए,$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $k e^x-x=0$ के दो भिन्न मूल हैं,वह है
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

फलन $f(x)=(x-2)^{2/3}(2x+1)$ के क्रांतिक बिंदुओं की संख्या है:

बिंदु $(0,0)$ की वक्र $y = e^x + e^{-x}$ से न्यूनतम दूरी क्या है?

त्रिभुज $ABC$ में अंतर्निहित समांतर चतुर्भुज का अधिकतम क्षेत्रफल (यह दिया गया है कि $A$ समांतर चतुर्भुज के शीर्षों में से एक है) किसके बराबर है? (जहाँ प्रतीकों का $\Delta ABC$ में सामान्य अर्थ है)