વર્તુળ $x^2+y^2-8x-2y-8=0$ દ્વારા રેખા $x+y+1=0$ પર અંતઃખંડિત જીવાની લંબાઈ કેટલા એકમ છે?

જો $(a, b)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 4 = 0$ ની જીવા $2x - y + 3 = 0$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $2a + 3b =$

$(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$(a \cos \beta, a \sin \beta)$ અને $(a \cos \gamma, a \sin \gamma)$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે $\alpha$ એ $8$ નો પૂર્ણાંક ગુણક છે. જો $S$ એ $\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેથી રેખા $6 x + 8 y + \alpha = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 9 = 0$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

$1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો એકબીજાથી $6$ એકમ અંતરે છે. ધારો કે $P$ એ $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે અને $C$ એવું વર્તુળ છે જે $C_1$ અને $C_2$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. જો $P$ માંથી પસાર થતો $C_1$ અને $C$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ $C_2$ અને $C$ નો પણ સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે એક વર્તુળ $C$ એ રેખાઓ $L_{1}: 4x - 3y + K_{1} = 0$ અને $L_{2}: 4x - 3y + K_{2} = 0$ ને સ્પર્શે છે,જ્યાં $K_{1}, K_{2} \in R$. જો વર્તુળ $C$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી એક રેખા $L_{1}$ ને $(-1, 2)$ પર અને $L_{2}$ ને $(3, -6)$ પર છેદે,તો વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ શું છે?