वक्र x = a(t + sin t),y = a(1 - cos t) के बिं | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $x = a(t + \sin t)$ और $y = a(1 - \cos t)$ है।सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$ और $\frac{d

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$2a \sin(t/2) 	an(t/2)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया वक्र $x = a(t + \sin t)$ और $y = a(1 - \cos t)$ है।सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$ और $\frac{dy}{dt} = a \sin t$.$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)} = 	an(t/2)$.अभिलंब की लंबाई का सूत्र $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ है।मान रखने पर:$L = |a(1 - \cos t)| \sqrt{1 + 	an^2(t/2)}$$L = a(2 \sin^2(t/2)) \sqrt{\sec^2(t/2)}$$L = 2a \sin^2(t/2) \sec(t/2)$चूंकि $\sec(t/2) = \frac{1}{\cos(t/2)}$,इसलिए:$L = 2a \sin(t/2) \cdot \frac{\sin(t/2)}{\cos(t/2)} = 2a \sin(t/2) 	an(t/2)$.

वक्र $x = a(t + \sin t)$,$y = a(1 - \cos t)$ के बिंदु $t$ पर अभिलंब की लंबाई है

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