यदि रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,तो $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$ का मान है

समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ और समतल $3x + 2y + 6z = 1$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समतलों $x-y+z-5=0$ और $x-3y-6=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा के दिक्-अनुपात ज्ञात कीजिए।

समतलों $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=1$ और $\overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j})+4=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+8=0$ के लंबवत समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i}+2 \hat{j}+12 \hat{k})=\mu$ है। तो $\mu$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P$ समतल $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ है और $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \text{ और } (\alpha, \beta, \gamma) \text{ की समतल } P \text{ से दूरी } \frac{7}{2} \text{ है}\right\}$ है। मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ समुच्चय $S$ में तीन भिन्न सदिश हैं जैसे कि $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}|$। मान लीजिए $V$ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन है। तो $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ का मान ज्ञात कीजिए।