रेखा 3x + y - 5 = 0 एक वृत्त S को (1, 2) पर स | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $h^2 + hk + k^2 = 37$ ... $(i)$ त्रिज्या $r = \sqrt{10}$। वृत्त $S$ का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 10$ है ... $(ii)$ चूंकि $(1, 2)

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$3$

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(B) दिया गया है $h^2 + hk + k^2 = 37$ ... $(i)$ त्रिज्या $r = \sqrt{10}$। वृत्त $S$ का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 10$ है ... $(ii)$ चूंकि $(1, 2)$ वृत्त पर स्थित है,$(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = 10$। विस्तार करने पर,$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 10$,जो $h^2 + k^2 - 2h - 4k = 5$ में सरल होता है। $(i)$ से $h^2 + k^2 = 37 - hk$ को इस समीकरण में रखने पर: $37 - hk - 2h - 4k = 5 \Rightarrow hk + 2h + 4k = 32$ ... $(iii)$ केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा $3x + y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{10}$ के बराबर है: $\frac{|3h + k - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \sqrt{10} \Rightarrow |3h + k - 5| = 10$। मान लीजिए $3h + k - 5 = 10$,तो $3h + k = 15 \Rightarrow k = 15 - 3h$। $k = 15 - 3h$ को $(iii)$ में रखने पर: $h(15 - 3h) + 2h + 4(15 - 3h) = 32$ $15h - 3h^2 + 2h + 60 - 12h = 32$ $-3h^2 + 5h + 28 = 0 \Rightarrow 3h^2 - 5h - 28 = 0$। द्विघात समीकरण $(3h + 7)(h - 4) = 0$ को हल करने पर,$h = 4$ या $h = -7/3$ प्राप्त होता है। यदि $h = 4$ है,तो $k = 15 - 3(4) = 3$। अतः,$k = 3$।

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