रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि:

मान लीजिए $ABCD$ एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $1$ है,और $\Gamma$ एक वृत्त है जो $B$ और $C$ से होकर गुजरता है,और $AD$ को स्पर्श करता है। $\Gamma$ की त्रिज्या है

यदि $\sin ^{-1} a$ वक्रों $x^{2}+y^{2}=4 x$ और $x^{2}+y^{2}=8$ के बीच $(2,2)$ पर न्यून कोण है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $X$-अक्ष को मूलबिंदु से $+3$ की दूरी पर स्पर्श करता है और धनात्मक $Y$-अक्ष पर $8$ का अंतःखंड काटता है।

क्षेत्र $R = \{( x , y ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x \geq 0 \text{ और } y^2 \leq 4- x \}$ पर विचार करें। मान लीजिए $F$ उन सभी वृत्तों का परिवार है जो $R$ में निहित हैं और जिनके केंद्र $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C$ वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या $F$ के वृत्तों में सबसे बड़ी है। मान लीजिए $(\alpha, \beta)$ वह बिंदु है जहाँ वृत्त $C$ वक्र $y^2=4- x$ से मिलता है।
$(1)$ वृत्त $C$ की त्रिज्या है. . . . . .
$(2)$ $\alpha$ का मान है. . . . .
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें:

यदि वृत्तों $x^2+y^2-12x-6y+41=0$ और $x^2+y^2+kx+6y-59=0$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,तो $k$ का एक मान है