જે વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ ને લંબચ્છેદી છે,તેના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $RS$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ નો વ્યાસ છે,જ્યાં $S$ એ બિંદુ $(1,0)$ છે. ધારો કે $P$ એ વર્તુળ પરનું એક ચલ બિંદુ ($R$ અને $S$ સિવાયનું) છે અને $S$ તથા $P$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ માં મળે છે. $P$ આગળનો અભિલંબ $Q$ માંથી પસાર થતી અને $RS$ ને સમાંતર રેખાને બિંદુ $E$ માં છેદે છે. તો $E$ નો બિંદુપથ નીચેનામાંથી કયા બિંદુ(ઓ) માંથી પસાર થાય છે?
$(A)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ $(C)$ $\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$

$h$ ઊંચાઈ ધરાવતા લંબ-વર્તુળાકાર શંકુ આકારની બોટલમાં થોડું પાણી છે. જ્યારે તેનો પાયો સપાટ સપાટી પર રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સપાટીથી શિરોબિંદુની ઊંચાઈ $a$ એકમ છે. જ્યારે તેને ઉલટું રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સપાટીથી પાયાની ઊંચાઈ $\frac{a}{4}$ એકમ છે. તો ગુણોત્તર $\frac{h}{a}$ શું છે?

જો $A (c, 0)$ અને $B (-c, 0)$ બે બિંદુઓ હોય,તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી $PA^{2} + PB^{2} = AB^{2}$ થાય.

કાટકોણ ત્રિકોણના ત્રીજા શિરોબિંદુનો બિંદુપથ શોધો,જેના કર્ણના અંત્યબિંદુઓ $(1,2)$ અને $(4,5)$ છે.

એક બિંદુનો બિંદુપથ જે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનું $x$-અક્ષથી અંતર તેના $y$-અક્ષથી અંતર કરતા બમણું હોય,તે છે: