10 text{ cm} त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित आय | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $x$ और $y$ है। आयत $R = 10 	ext{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है।आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के

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$200$

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(B) मान लीजिए कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $x$ और $y$ है। आयत $R = 10 	ext{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है।आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $x^2 + y^2 = (2R)^2 = (20)^2 = 400$ है।आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ है। क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = x^2y^2$ को अधिकतम करते हैं।मान लीजिए $u = x^2$ और $v = y^2$,तो $u + v = 400$ है। हम $uv$ को अधिकतम करना चाहते हैं।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$,इसलिए $\sqrt{uv} \leq \frac{400}{2} = 200$ है।अतः,$uv \leq (200)^2 = 40000$ है।वैकल्पिक रूप से,वृत्त में अंकित आयत का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब वह एक वर्ग हो।यदि यह $a$ भुजा वाला एक वर्ग है,तो $a^2 + a^2 = (20)^2 \Rightarrow 2a^2 = 400 \Rightarrow a^2 = 200$ है।वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = 200 	ext{ cm}^2$ है।

$10 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

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