यदि 0

Question

(C) माना $z = \left(\frac{3}{a}-1\right)^{2}+\left(\frac{a}{b}-1\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}-1\right)^{2}+(3 c-1)^{2}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,न

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$27$

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(C) माना $z = \left(\frac{3}{a}-1\right)^{2}+\left(\frac{a}{b}-1\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}-1\right)^{2}+(3 c-1)^{2}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब सभी पद समान हों।
माना $\frac{3}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = 3c = k$.
अतः $3c = k \implies c = k/3$.
$b/c = k \implies b = kc = k^2/3$.
$a/b = k \implies a = kb = k^3/3$.
$3/a = k \implies 3 = ak = k^4/3 \implies k^4 = 9 \implies k = \sqrt{3}$.
इस मान को $z$ में रखने पर: $z = 4(\sqrt{3}-1)^2 = 4(3 + 1 - 2\sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3}$.
$p - q\sqrt{r}$ से तुलना करने पर,$p = 16, q = 8, r = 3$.
यहाँ $q=8$ और $r=3$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p + q + r = 16 + 8 + 3 = 27$.

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