सम्मिश्र संख्या left(frac{2+i sqrt{5}}{2-i sq | vedclass

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Question

(A) माना $z = \left(\frac{2+i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}}ight)^{10} + \left(\frac{2-i \sqrt{5}}{2+i \sqrt{5}}ight)^{10}$.माना $2 = r \cos 	heta$ और $

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$2 \cos \left(20 \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना $z = \left(\frac{2+i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}}ight)^{10} + \left(\frac{2-i \sqrt{5}}{2+i \sqrt{5}}ight)^{10}$.माना $2 = r \cos 	heta$ और $\sqrt{5} = r \sin 	heta$. तब $r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = 3$.अतः,$\cos 	heta = \frac{2}{3}$ और $\sin 	heta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.व्यंजक $z = \left(\frac{\cos 	heta + i \sin 	heta}{\cos 	heta - i \sin 	heta}ight)^{10} + \left(\frac{\cos 	heta - i \sin 	heta}{\cos 	heta + i \sin 	heta}ight)^{10}$ हो जाता है।डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (e^{i2	heta})^{10} + (e^{-i2	heta})^{10} = 2 \cos(20	heta)$.चूंकि $\cos 	heta = \frac{2}{3}$,इसलिए $	heta = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$.अतः,$|z| = 2 \cos(20 \cos^{-1}(\frac{2}{3}))$,क्योंकि $20	heta$ प्रथम चतुर्थांश में है जहाँ कोसाइन धनात्मक होता है।

सम्मिश्र संख्या $\left(\frac{2+i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}}\right)^{10}+\left(\frac{2-i \sqrt{5}}{2+i \sqrt{5}}\right)^{10}$ का मापांक ज्ञात कीजिए।

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