x e^x का n^{th} अवकलज कब शून्य होता है? | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x e^x$. अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x) e^x + x \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + x e^x = (1 + x) e^x$. $f'

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$x = -n$

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(C) माना $f(x) = x e^x$. अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x) e^x + x \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + x e^x = (1 + x) e^x$. $f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + x) e^x + (1 + x) \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + (1 + x) e^x = (2 + x) e^x$. $f'''(x) = \frac{d}{dx}(2 + x) e^x + (2 + x) \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + (2 + x) e^x = (3 + x) e^x$. इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n^{th}$ अवकलज इस प्रकार है: $f^{(n)}(x) = (n + x) e^x$. $n^{th}$ अवकलज के शून्य होने के लिए,हम $f^{(n)}(x) = 0$ रखते हैं: $(n + x) e^x = 0$. चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^x$ कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए: $n + x = 0 \implies x = -n$.

$x e^x$ का $n^{th}$ अवकलज कब शून्य होता है?

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