int_0^1 x f(x) dx = frac{1}{3} + frac{1}{4} i | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$ $4$ વડે ગુણતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$ $\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$ $f(x)$ સતત વિધેય હોવાથી,$(f(x) - 2x)^2$ એ અ-ઋણ અને સતત છે. અ-ઋણ સતત વિધેયનું સંકલન $0$ હોવા માટે,સંકલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$. આમ,આવું ફક્ત $1$ સતત વિધેય મળે છે.

$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

$\int_0^{1.5} {[x^2] \, dx}$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તેની કિંમત શોધો.

$b > 3$ ની કઈ કિંમત માટે $12 \int \limits_{3}^{b} \frac{1}{(x^{2}-1)(x^{2}-4)} dx = \log _{e}(\frac{49}{40})$ થાય?

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx =$

$\int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} = $

ધારો કે $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. જો $\int_0^{e^3}\left[\frac{1}{e^{x-1}}\right] d x=\alpha-\log _e 2$ હોય,તો $\alpha^3$ ની કિંમત . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module