int_0^1 x f(x) dx = frac{1}{3} + frac{1}{4} i | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x)

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$1$

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(B) दिया गया समीकरण: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$ $4$ से गुणा करने पर: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ को जोड़ने और घटाने पर: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$ $\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$ चूंकि $f(x)$ एक सतत फलन है,$(f(x) - 2x)^2$ अऋणात्मक और सतत है। एक अऋणात्मक सतत फलन का समाकलन $0$ होने के लिए,समाकल्य को शून्य होना चाहिए। अतः,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$. इस प्रकार,ऐसा केवल $1$ सतत फलन है।

$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

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यदि $\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + a} + \sqrt x }}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\frac{{2\tan \theta }}{{\sin 2\theta }}} d\theta$ है,तो $a$ का मान $(a > 0)$ ज्ञात कीजिए।

यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$ है,तो $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान क्या होगा?

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समाकलन $\int_{-1}^1 \left( \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

$\int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi\left(x-\left[\frac{x}{2}\right]\right)\right) d x$,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है,का मान है:

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