अंतराल $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ में $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x}&{\cos x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}} \right| = 0$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?

यदि समीकरणों की प्रणाली
$x+(\sqrt{2} \sin \alpha) y+(\sqrt{2} \cos \alpha) z=0$
$x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0$
$x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|=K(a-b)(b-c)(c-a)$, तो $K=$

$x$ के किस मान के लिए $\left| \begin{array}{ccc} x + \omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & \omega^2 & 1 + x \\ 1 & x + \omega & \omega^2 \end{array} \right| = 0$ होगा?

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}512}&{{{\log }_4}3}\\{{{\log }_3}8}&{{{\log }_4}9}\end{array}} \right| \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}3}&{{{\log }_8}3}\\{{{\log }_3}4}&{{{\log }_3}4}\end{array}} \right| = $

यदि $p{\lambda ^4} + q{\lambda ^3} + r{\lambda ^2} + s\lambda + t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda ^2} + 3\lambda }&{\lambda - 1}&{\lambda + 3}\\{\lambda + 1}&{2 - \lambda }&{\lambda - 4}\\{\lambda - 3}&{\lambda + 4}&{3\lambda }\end{array}} \right|$ है,तो $t$ का मान ज्ञात कीजिए।