ગણ S = {x : x in [0, 100] text{ અને } int_{0} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે $I = \int_{0}^{x}

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$. આનું વિસ્તરણ કરતા, $I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$. સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા: $1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$. $2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$. $3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$. આ કિંમતો મૂકતા: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$. આપેલ છે કે $I = x^{2}$, તેથી $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$, જેનું સાદું રૂપ $2 \cos(x) = 2$ અથવા $\cos(x) = 1$ થાય છે. $x \in [0, 100]$ માટે, $\cos(x) = 1$ નો અર્થ છે $x = 2n\pi$, જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$. $2n\pi \le 100$ હોવાથી, $n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$. આમ, $n$ ની કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 15$ હોઈ શકે, જે કુલ $16$ મૂલ્યો આપે છે.

ગણ $S = \{x : x \in [0, 100] \text{ અને } \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt = x^{2}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx =$

$\int_0^{\pi / 2} \frac{16 x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module