અંતરાલ $[1005, 2010]$ માં એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ ની સંખ્યા શોધો જેના માટે બહુપદી $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$ એ બહુપદી $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ ને ભાગી શકે.

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ $x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ અનુક્રમે $(44 - \sqrt{2017})^{2017}$ અને $(44 + \sqrt{2017})^{2017}$ ના અપૂર્ણાંક ભાગો છે. તો,$F_1 + F_2$ એ કઈ સંખ્યાઓની વચ્ચે આવે છે?

ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,$2^{(x-2)\log_2 3}$ ની વધતી જતી ઘાતમાં છઠ્ઠું પદ $21$ છે. જો વિસ્તરણમાં બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદના દ્વિપદી સહગુણકો અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમા પદ હોય,તો $x$ ની તમામ શક્ય કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો $.........$ છે.

શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ પદો} \right)}$ નો સરવાળો શોધો.

ધારો કે $(x+3)^{n-1}+(x+3)^{n-2}(x+2)+(x+3)^{n-3}(x+2)^2+\ldots+(x+2)^{n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક $\alpha_{r}$ છે. જો $\sum_{r=0}^{n-1} \alpha_{r}=\beta^{n}-\gamma^{n}$,જ્યાં $\beta, \gamma \in N$,તો $\beta^2+\gamma^2$ ની કિંમત શોધો:

જો ગુણાકાર $(1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n})$ માં $x$ ના તમામ યુગ્મ ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $61$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.