अंतराल $[1005, 2010]$ में उन प्राकृतिक संख्याओं $n$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए बहुपद $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$,बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ को विभाजित करता है।

जब बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{22}$ को $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{11}$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

मान लीजिए $(1+x+x^2)^{2014} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_{4028} x^{4028}$. मान लीजिए $A = a_0 - a_3 + a_6 - \ldots + a_{4026}$,$B = a_1 - a_4 + a_7 - \ldots - a_{4027}$,और $C = a_2 - a_5 + a_8 - \ldots + a_{4028}$. तो,

माना कि $(1+x+x^2)^9=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +\ldots+a_{18} x^{18}$. तो

मान लीजिए कि $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में परिमेय पदों की संख्या $K$ है। यदि $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ के विस्तार में $x^{P} \quad(P \in N)$ का गुणांक $\alpha_{P}$ है,तो $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$

$1$ से $10$ तक क्रमांकित दस ट्रक चीनी के पैकेट ले जा रहे हैं। प्रत्येक पैकेट का वजन या तो $999 \ g$ है या $1000 \ g$ और प्रत्येक ट्रक केवल समान वजन के पैकेट ले जाता है। पहले ट्रक से $1$ पैकेट,दूसरे से $2$ पैकेट,तीसरे से $4$ पैकेट,और इसी तरह दसवें ट्रक से $2^9$ पैकेट का कुल वजन $1022870 \ g$ है। किन ट्रकों में हल्के बैग हैं?