समुच्चय {1, 2, 3, ldots, 100} में उन धनात्मक | vedclass

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Question

(B) हमारे पास व्यंजक $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर,अंश $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है और हर $\frac

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$34$

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(B) हमारे पास व्यंजक $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर,अंश $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है और हर $\frac{n(n+1)}{2}$ है।इनका भाग देने पर,हमें $\frac{2n+1}{3}$ प्राप्त होता है।इस व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,मान लीजिए $\frac{2n+1}{3} = k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।इसका अर्थ है $2n+1 = 3k$,या $2n = 3k-1$।चूँकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$3k-1$ सम संख्या होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।$1 \leq n \leq 100$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq \frac{3k-1}{2} \leq 100$।$2 \leq 3k-1 \leq 200$ $\Rightarrow 3 \leq 3k \leq 201$ $\Rightarrow 1 \leq k \leq 67$।हमें $[1, 67]$ अंतराल में विषम पूर्णांकों $k$ की संख्या ज्ञात करनी है।विषम पूर्णांक $1, 3, 5, \ldots, 67$ हैं।यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=2$,और $l=67$ है।$l = a + (m-1)d$ सूत्र का उपयोग करने पर,$67 = 1 + (m-1)2$ $\Rightarrow 66 = 2(m-1)$ $\Rightarrow 33 = m-1$ $\Rightarrow m = 34$।अतः,ऐसे $34$ पूर्णांक $n$ हैं।

समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ में उन धनात्मक पूर्णांकों $n$ की संख्या क्या है जिनके लिए $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ एक पूर्णांक है?

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