समीकरण e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$.पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर (क्योंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} 
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$1$

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(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$.पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर (क्योंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} 
eq 0$):$e^{2x} + e^x - 4 + e^{-x} + e^{-2x} = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$(e^{2x} + e^{-2x}) + (e^x + e^{-x}) - 4 = 0$.मान लीजिए $u = e^x + e^{-x}$। हम जानते हैं कि $u^2 = (e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$,इसलिए $e^{2x} + e^{-2x} = u^2 - 2$.इस मान को समीकरण में रखने पर:$(u^2 - 2) + u - 4 = 0 \Rightarrow u^2 + u - 6 = 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:$(u + 3)(u - 2) = 0$.इससे $u = -3$ या $u = 2$ प्राप्त होता है।स्थिति $1$: $e^x + e^{-x} = -3$। चूंकि $e^x > 0$ और $e^{-x} > 0$,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $e^x + e^{-x} \geq 2$ होता है। इसलिए,$u = -3$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।स्थिति $2$: $e^x + e^{-x} = 2$। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$e^x + e^{-x} = 2$ केवल तब संभव है जब $e^x = e^{-x}$ हो,जिसका अर्थ है $e^{2x} = 1$,अर्थात $x = 0$।अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

समीकरण $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?

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