मैट्रिक्स समीकरण $X^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ के हलों की संख्या क्या है?

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

मान लीजिए कि $A$ एक गैर-शून्य आवर्ती आव्यूह (periodic matrix) है जिसका आवर्तकाल $4$ है और $A^{12} + B = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और $B$,$A$ के समान क्रम का कोई भी वर्ग आव्यूह है। आव्यूह गुणनफल $AB$ किसके बराबर है?

आव्यूहों $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $a, b, c, d \in \{-1, 0, 1, 2, 3, \ldots, 10\}$,ताकि $A=A^{-1}$ हो।

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जिसके लिए सभी अशून्य $3 \times 1$ आव्यूहों $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ के लिए $X^{T}AX = O$ है। यदि $A \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right]$,$A \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$,और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(A+I)))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान है

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक हैं। यदि $s_n = \alpha^n + \beta^n$ और $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ है, तो $k =$