સમીકરણ z^2 + bar{z} = 0 ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $z = x + iy$,જેથી $\bar{z} = x - iy$. તેથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:$z^2 + \bar{z} = 0 \iff (x + iy)^2 + (x - iy) = 0$$(x^2 - y^2 + x) + i(

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $z = x + iy$,જેથી $\bar{z} = x - iy$. તેથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:$z^2 + \bar{z} = 0 \iff (x + iy)^2 + (x - iy) = 0$$(x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) = 0$વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:$x^2 - y^2 + x = 0$ .....$(i)$$2xy - y = 0$ .....$(ii)$$(ii)$ પરથી,$y(2x - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.કિસ્સો $1$: જો $y = 0$ હોય,તો $(i)$ આપે છે $x^2 + x = 0$,તેથી $x(x + 1) = 0$,જે $x = 0$ અથવા $x = -1$ આપે છે. આ બે ઉકેલો આપે છે: $z = 0$ અને $z = -1$.કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{1}{2}$ હોય,તો $(i)$ આપે છે $(\frac{1}{2})^2 - y^2 + \frac{1}{2} = 0$,તેથી $\frac{1}{4} - y^2 + \frac{1}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે $y^2 = \frac{3}{4}$,તેથી $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આ બે ઉકેલો આપે છે: $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.આમ,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

સમીકરણ $z^2 + \bar{z} = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

સંમેય સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી સમીકરણના બે બીજ $\sqrt{3}+\sqrt{27}$ અને $\sqrt{2}+5i$ હોય,તો તે સમીકરણની ન્યૂનતમ ઘાત કેટલી થાય?

જો $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2021} = x+i y$ હોય,તો $\theta=\frac{\pi}{2}$ આગળ $x+y$ ની કિંમત શોધો.

$z^3+\bar{z}=0$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$ અને $z=p \omega^2+q \omega$ હોય,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તો $xyz$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module