સમીકરણ z^{2}+overline{z}=0 ના ઉકેલોની સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$. આપેલ છે કે $z^{2} + \overline{z} = 0$,તેથી $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$. વાસ

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$. આપેલ છે કે $z^{2} + \overline{z} = 0$,તેથી $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$ $y(2x - 1) = 0$ (ii) (ii) પરથી,$y = 0$ અથવા $x = 1/2$. કિસ્સો $1$: જો $y = 0$,તો $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1$. આનાથી $z = 0$ અને $z = -1$ ઉકેલો મળે છે. કિસ્સો $2$: જો $x = 1/2$,તો $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. આનાથી $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ અને $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ ઉકેલો મળે છે. આમ,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

સમીકરણ $z^{2}+\overline{z}=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $z \in \mathbb{C}$ છે.

Similar Questions

$\alpha, \beta, z \in \mathbb{C}$ અને $\lambda > 1$ માટે,જો $\sqrt{\lambda - 1}$ એ વર્તુળ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $|\alpha - \beta|$ ની કિંમત $.............$ થાય.

ધારો કે $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $\frac{z-2i}{z+2i}$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય થાય. તો,$|z-(6+8i)|$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય જે સમીકરણ $\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right| = 1$ નું સમાધાન કરે છે,તો $\frac{z_1}{z_2}$ એ કઈ સંખ્યા છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module