$6$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ એક ગોળાકાર ટેબલ પર જમે છે,જો કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે,તો તે કેટલી રીતે શક્ય છે?

એક પેટીમાં $2$ સફેદ દડા,$3$ કાળા દડા અને $4$ લાલ દડા છે. જો પેટીમાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના હોય અને તેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો હોય,તો આ પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય?

$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r$ =

$3$ તાલીમાર્થીઓ,$4$ પ્રોફેસરો અને $6$ સંશોધન સહયોગીઓમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં બધા $4$ પ્રોફેસરો અને $1$ સંશોધન સહયોગી અથવા બધા $3$ તાલીમાર્થીઓ અને $2$ પ્રોફેસરો હોય,તો આ કેટલી અલગ અલગ રીતે કરી શકાય?

$1$ થી $30$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી ત્રણ સંખ્યાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેમાં બધી જ બેકી સંખ્યાઓ હોય તેવી પસંદગી બાકાત રહે.

$\sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ ની કિંમત શોધો.