$5$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી રીતે બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક છોકરી બે છોકરાઓની વચ્ચે હોય.

સાત વૈજ્ઞાનિકો $S_1, S_2, \ldots, S_7$ ને એક પરિષદમાં દરેકને એક વ્યાખ્યાન આપવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવ્યા છે. સાતેય વ્યાખ્યાનોને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી $S_1$ નું વ્યાખ્યાન $S_3$ પહેલાં હોય અને $S_3$ નું વ્યાખ્યાન $S_7$ પહેલાં હોય.

$0, 1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓમાંથી,જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય છે,$4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$ અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય,જેથી દરેક અંકનો ઉપયોગ માત્ર એક જ વાર થાય?

$n$ કેડેટ્સને એક હરોળમાં ઊભા રહેવાનું છે. જો તમામ શક્ય ક્રમચયો સમાન રીતે સંભવિત હોય,તો બે ચોક્કસ કેડેટ્સ બાજુ-બાજુમાં ઊભા રહેવાની સંભાવના કેટલી છે?

$MATHEMATICS$ શબ્દના અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?