હેતુ વિધેય $Z = 4 x_1 + 5 x_2$,શરતો $2 x_1 + x_2 \geq 7$,$2 x_1 + 3 x_2 \leq 15$,$x_2 \leq 3$,$x_1, x_2 \geq 0$ માટે ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?

એક ઉત્પાદક પાસે તેની ફેક્ટરીમાં ત્રણ મશીનો $I, II$ અને $III$ છે. મશીન $I$ અને $II$ વધુમાં વધુ $12 \, \text{કલાક}$ માટે ચલાવી શકાય છે,જ્યારે મશીન $III$ દિવસમાં ઓછામાં ઓછા $5 \, \text{કલાક}$ ચલાવવું આવશ્યક છે. તે માત્ર બે વસ્તુઓ $M$ અને $N$ બનાવે છે,જે દરેકને ત્રણેય મશીનોના ઉપયોગની જરૂર પડે છે. ત્રણેય મશીનો પર $M$ અને $N$ ની $1$ એકમ બનાવવા માટે જરૂરી કલાકો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:

વસ્તુઓ	મશીન $I$	મશીન $II$	મશીન $III$
$M$	$1$	$2$	$1$
$N$	$2$	$1$	$1.25$

તે વસ્તુ $M$ અને $N$ પર અનુક્રમે $Rs. \, 600$ અને $Rs. \, 400$ નો નફો મેળવે છે. તેણે દરેક વસ્તુના કેટલા એકમોનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ જેથી તેનો નફો મહત્તમ થાય,એમ ધારીને કે તે ઉત્પાદિત તમામ વસ્તુઓ વેચી શકે છે? મહત્તમ નફો કેટલો થશે?

એક બીમાર વ્યક્તિના આહારમાં ઓછામાં ઓછા $4000$ એકમ વિટામિન,$50$ એકમ પ્રોટીન અને $1400$ કેલરી હોવી જોઈએ. બે ખોરાક $A$ અને $B$ અનુક્રમે ₹ $4$ અને ₹ $3$ પ્રતિ એકમના ભાવે ઉપલબ્ધ છે. જો $A$ ના એક એકમમાં $200$ એકમ વિટામિન,$1$ એકમ પ્રોટીન અને $40$ કેલરી હોય,જ્યારે ખોરાક $B$ ના એક એકમમાં $100$ એકમ વિટામિન,$2$ એકમ પ્રોટીન અને $40$ કેલરી હોય,તો આ સમસ્યાને એવી રીતે તૈયાર કરો કે જેથી આહાર સૌથી સસ્તો પડે.

એક ઉત્પાદક બે પ્રકારના રમકડાં $A$ અને $B$ બનાવે છે. આ હેતુ માટે ત્રણ મશીનોની જરૂર પડે છે અને દરેક રમકડા માટે મશીનો પર જરૂરી સમય (મિનિટમાં) નીચે મુજબ છે:

રમકડાના પ્રકાર	મશીન-$I$	મશીન-$II$	મશીન-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

દરેક મશીન દિવસમાં મહત્તમ $6 \, \text{કલાક}$ $(360 \, \text{મિનિટ})$ માટે ઉપલબ્ધ છે. જો પ્રકાર $A$ ના દરેક રમકડા પરનો નફો $Rs. \, 7.50$ હોય અને પ્રકાર $B$ ના દરેક રમકડા પરનો નફો $Rs. \, 5$ હોય,તો મહત્તમ નફો મેળવવા માટે દિવસમાં દરેક પ્રકારના કેટલા રમકડાં બનાવવા જોઈએ તે શોધો.

આપેલ આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે. તો તેના અવરોધો કયા છે?

અસમતાઓ $x-y \geqslant 0$,$x-5y \leqslant -5$,$x \geqslant 0$,$y \geqslant 0$ માટે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિ દ્વારા દર્શાવેલ છે: