cos(x + 8x + 27x + ldots + n^3x) का आवर्तकाल | vedclass

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Question

(C) हमारे पास व्यंजक $\cos(x + 8x + 27x + \ldots + n^3x)$ है।इसे $\cos\left(\sum_{k=1}^{n} k^3 x\right) = \cos\left(x \sum_{k=1}^{n} k^3\right)$ के रू

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$\frac{8 \pi}{n^2(n+1)^2}$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास व्यंजक $\cos(x + 8x + 27x + \ldots + n^3x)$ है।इसे $\cos\left(\sum_{k=1}^{n} k^3 x\right) = \cos\left(x \sum_{k=1}^{n} k^3\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र उपयोग करने पर, $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ प्राप्त होता है।अतः, व्यंजक $\cos\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4} x\right)$ हो जाता है।$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।यहाँ, $k = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ है।इसलिए, आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \frac{8\pi}{n^2(n+1)^2}$ है।

$\cos(x + 8x + 27x + \ldots + n^3x)$ का आवर्तकाल (period) है

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