બે રેખાઓ $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z + 5}{7}$ અને $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z + 4}{7}$ ને સમાવતા સમતલનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર શોધો.

વિધાન $(A)$: બિંદુ $(4, 4, 4)$ માંથી અને સમતલો $x + y + z = 6$ અને $2x + 3y + 4z = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $29x + 23y + 17z = 276$ છે.
કારણ $(R)$: સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0, \lambda \in \mathbb{R}$ છે.

$(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $x - y + 2z = 5$ તથા $3x + y + z = 6$ સમતલોને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.

સમતલો $x+y+z=1$ અને $2x+3y+4z=5$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x-y+z=0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

જો $\hat{i}+\hat{j}$ અને $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ બિંદુઓને જોડતી રેખા,$2 \hat{i}+4 \hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $3 \hat{j}+5 \hat{k}$ તથા $3 \hat{i}-\hat{k}$ સદિશોને સમાંતર સમતલને $P$ બિંદુએ મળે,તો બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

$\lambda$ ના કેટલા ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે રેખાઓ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{\lambda^2}$ અને $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{\lambda^2} = \frac{z - 1}{2}$ સમતલીય છે?