वक्र x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}, a 0 के कि | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।वक्र पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (a \cos^3 	heta, a \sin^3 	heta)$ लें।स्पर

Vedclass · Accepted Answer

स्थिर (constant) है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।वक्र पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (a \cos^3 	heta, a \sin^3 	heta)$ लें।स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d	heta}{dx/d	heta}$ द्वारा दी जाती है।$\frac{dy}{d	heta} = 3a \sin^2 	heta \cos 	heta$ और $\frac{dx}{d	heta} = -3a \cos^2 	heta \sin 	heta$ है।अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 	heta \cos 	heta}{-3a \cos^2 	heta \sin 	heta} = -	an 	heta$ है।$(a \cos^3 	heta, a \sin^3 	heta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - a \sin^3 	heta = -	an 	heta (x - a \cos^3 	heta)$ है।सरल करने पर, $y \cos 	heta - a \sin^3 	heta \cos 	heta = -x \sin 	heta + a \cos^3 	heta \sin 	heta$ प्राप्त होता है।$x \sin 	heta + y \cos 	heta = a \sin 	heta \cos 	heta (\sin^2 	heta + \cos^2 	heta) = a \sin 	heta \cos 	heta$ है।$a \sin 	heta \cos 	heta$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{x}{a \cos 	heta} + \frac{y}{a \sin 	heta} = 1$ मिलता है।$x$-अंतःखंड $a \cos 	heta$ है और $y$-अंतःखंड $a \sin 	heta$ है।अंतःखंडित भाग की लंबाई $\sqrt{(a \cos 	heta)^2 + (a \sin 	heta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 	heta + \sin^2 	heta)} = a$ है।चूंकि $a$ एक स्थिरांक है, इसलिए अंतःखंडित भाग की लंबाई स्थिर है।

वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}, a > 0$ के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा का अक्षों के बीच का अंतःखंडित भाग:

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