एक त्रिभुज की तीन भुजाओं को व्यास मानकर खींचे | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। भुजाओं $AB, BC,$ और $CA$ को व्यास मानकर तीन वृत्तों पर विचार करें।व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1,

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लंबकेंद्र

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(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। भुजाओं $AB, BC,$ और $CA$ को व्यास मानकर तीन वृत्तों पर विचार करें।व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।इनमें से किन्हीं भी दो वृत्तों का मूल अक्ष (radical axis) उन दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा होती है। त्रिभुज की भुजाओं को व्यास मानकर खींचे गए वृत्तों के लिए,किन्हीं भी दो वृत्तों का मूल अक्ष उस त्रिभुज का शीर्षलंब (altitude) होता है जो उन दो भुजाओं के उभयनिष्ठ शीर्ष से होकर गुजरता है।चूंकि मूल केंद्र तीन वृत्तों के मूल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए यह त्रिभुज के तीनों शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।अतः,मूल केंद्र त्रिभुज का लंबकेंद्र है।

एक त्रिभुज की तीन भुजाओं को व्यास मानकर खींचे गए तीन वृत्तों का मूल केंद्र (radical centre) क्या है?

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$(0,0)$ से गुजरने वाले और $x^2+y^2+6x-15=0$ तथा $x^2+y^2-8y-10=0$ वृत्तों को लंबकोणीय (orthogonally) काटने वाले वृत्त का समीकरण है

यदि वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,तो

वृत्तों $x^2 + y^2 - 16x + 60 = 0$,$x^2 + y^2 - 12x + 27 = 0$,और $x^2 + y^2 - 12y + 8 = 0$ का रेडिकल केंद्र ज्ञात कीजिए।

दो वृत्तों $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ और $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ का आंतरिक समानता केंद्र ज्ञात कीजिए।

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