y = x^2 + 2 और x = y^2 + 2 परवलयों को स्पर्श | vedclass

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Question

(D) दिए गए परवलय रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएं रेखा $y = x$ के समानांतर होनी चाहिए,इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए परवलय रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएं रेखा $y = x$ के समानांतर होनी चाहिए,इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल $1$ है।परवलय $y = x^2 + 2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x = 1$,जिससे $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।$x = \frac{1}{2}$ को $y = x^2 + 2$ में रखने पर,हमें $y = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।अतः,बिंदु $B = (\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ है। सममिति द्वारा,बिंदु $A = (\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ है।दूरी $AB = \sqrt{(\frac{9}{4} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - \frac{9}{4})^2} = \sqrt{(\frac{7}{4})^2 + (-\frac{7}{4})^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{98}{16}} = \frac{7 \sqrt{2}}{4}$ है।सबसे छोटे वृत्त का व्यास दूरी $AB$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{AB}{2} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$ है।

$y = x^2 + 2$ और $x = y^2 + 2$ परवलयों को स्पर्श करने वाले सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

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