$(2, -4, 3)$ અને $(-4, 5, -6)$ ને જોડતી રેખાને $3x + 2y + z - 4 = 0$ સમતલ કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે?

ધન દિશા કોસાઇન ધરાવતી એક રેખા બિંદુ $P(2,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. આ રેખા સમતલ $2x+y+z=9$ ને બિંદુ $Q$ પર મળે છે. રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\qquad$ એકમ છે.

રેખાઓ $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ અને $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને ઉગમબિંદુથી સૌથી વધુ અંતરે આવેલા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે એક રેખા $L_1$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ અને $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ ને લંબ છે, જ્યાં $t, s \in R$. જો $(a, b, c)$, જ્યાં $a \in Z$, એ $L_3$ પરનું બિંદુ છે જે $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુથી $\sqrt{17}$ અંતરે છે, તો $(a+b+c)^2$ ની કિંમત . . . . . . . છે.

બિંદુ $(2, 3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલો $x - 2y - z + 5 = 0$ અને $x + y + 3z = 6$ ની છેદરેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.

સદિશ $2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ દ્વારા સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})=7$ સાથે બનતો ખૂણો કેટલો છે ($^{\circ}$ માં)?