वह अनुपात जिसमें गोला {x^2} + {y^2} + {z^2} = | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि गोला रेखाखंड $AB$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,रेखाखंड $AB$ पर बिंदु $P$ के निर्देश

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$2:3$ बाह्य रूप से

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(A) मान लीजिए कि गोला रेखाखंड $AB$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,रेखाखंड $AB$ पर बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं: $P = \left( \frac{27\lambda + 12}{\lambda + 1}, \frac{-9\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{18\lambda + 8}{\lambda + 1} ight)$. चूंकि बिंदु $P$ गोले ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 504$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को गोले के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $\left( \frac{27\lambda + 12}{\lambda + 1} ight)^2 + \left( \frac{-9\lambda - 4}{\lambda + 1} ight)^2 + \left( \frac{18\lambda + 8}{\lambda + 1} ight)^2 = 504$. उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $\frac{1}{(\lambda + 1)^2} [ (3(9\lambda + 4))^2 + (-(9\lambda + 4))^2 + (2(9\lambda + 4))^2 ] = 504$. $\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} [ 9 + 1 + 4 ] = 504$. $\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} 	imes 14 = 504$. $\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} = 36$. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{9\lambda + 4}{\lambda + 1} = \pm 6$. स्थिति $1$: $9\lambda + 4 = 6\lambda + 6 \implies 3\lambda = 2 \implies \lambda = 2/3$ (आंतरिक विभाजन)। स्थिति $2$: $9\lambda + 4 = -6\lambda - 6 \implies 15\lambda = -10 \implies \lambda = -2/3$ (बाह्य विभाजन)। अतः,सही उत्तर $A$ है।

वह अनुपात जिसमें गोला ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 504$,बिंदुओं $A(12, -4, 8)$ और $B(27, -9, 18)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $AB$ को विभाजित करता है,वह है

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