sin^{-1}(e^{itheta}) का वास्तविक भाग है | vedclass

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Question

(A) माना $\sin^{-1}(e^{i	heta}) = x + iy$. अतः,$e^{i	heta} = \sin(x + iy)$. सर्वसमिका $\sin(x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ का उपयोग कर

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$\cos^{-1}(\sqrt{\sin	heta})$

Vedclass · Answer

(A) माना $\sin^{-1}(e^{i	heta}) = x + iy$. अतः,$e^{i	heta} = \sin(x + iy)$. सर्वसमिका $\sin(x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ का उपयोग करने पर: $\sin x \cosh y + i \cos x \sinh y = \cos 	heta + i \sin 	heta$. वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $\sin x \cosh y = \cos 	heta$ और $\cos x \sinh y = \sin 	heta$. अतः,$\cosh y = \frac{\cos 	heta}{\sin x}$ और $\sinh y = \frac{\sin 	heta}{\cos x}$. सर्वसमिका $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ का उपयोग करने पर: $\frac{\cos^2 	heta}{\sin^2 x} - \frac{\sin^2 	heta}{\cos^2 x} = 1$. इस समीकरण को हल करने पर,$\cos^4 x = \sin^2 	heta$ प्राप्त होता है। अतः,$x = \cos^{-1}(\sqrt{\sin 	heta})$.

$\sin^{-1}(e^{i\theta})$ का वास्तविक भाग है

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