रेखा y = x और वक्र y^2 = x - 2 के बीच की न्यू | vedclass

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Question

(C) एक रेखा और एक वक्र के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।दी गई रेखा $y = x$ है,जिसका

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$\frac{7}{4\sqrt{2}}$

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(C) एक रेखा और एक वक्र के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।दी गई रेखा $y = x$ है,जिसका ढाल $m = 1$ है।वक्र $y^2 = x - 2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।स्पर्श रेखा के ढाल को रेखा के ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$।$y = \frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 = x - 2 \Rightarrow \frac{1}{4} = x - 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$।अतः,वक्र पर बिंदु $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ है।न्यूनतम दूरी बिंदु $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ से रेखा $x - y = 0$ की लंबवत दूरी है।दूरी $d = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{9}{4} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{9-2}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}}$।

रेखा $y = x$ और वक्र $y^2 = x - 2$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

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