रेखा x-y=1 और वक्र x^{2}=2y के बीच की न्यूनतम | vedclass

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Question

(B) एक वक्र और एक रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।रेखा का समीकरण

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$\frac{1}{2\sqrt{2}}$

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(B) एक वक्र और एक रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।रेखा का समीकरण $x-y=1$ है,जिसे $y=x-1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m=1$ है।वक्र का समीकरण $x^2=2y$ है,जिसका अर्थ है $y=\frac{x^2}{2}$।किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ द्वारा दी जाती है।स्पर्श रेखा की ढाल को रेखा की ढाल के बराबर रखने पर,हमें $x_0 = 1$ प्राप्त होता है।$x_0=1$ को वक्र के समीकरण $y_0 = \frac{x_0^2}{2}$ में रखने पर,हमें $y_0 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,वक्र पर बिंदु $P(1, \frac{1}{2})$ है।बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ तक की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ,रेखा $x-y-1=0$ है,इसलिए $A=1, B=-1, C=-1$. बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ है।न्यूनतम दूरी $= \left|\frac{1(1) + (-1)(\frac{1}{2}) - 1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \left|\frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{\sqrt{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।

रेखा $x-y=1$ और वक्र $x^{2}=2y$ के बीच की न्यूनतम दूरी .... है।

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