वक्र C : y = y(x) के किसी भी बिंदु (x, y) पर | vedclass

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Question

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ दी गई है।अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर:$\frac{dy}{dx} = \f

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$\frac{3}{\sqrt{2}}\left(\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\right)$

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(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ दी गई है।अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{4x} - 6e^x + 9e^{2x}}{2e^{2x} + 9} = e^{2x} - \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9}$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y = \int e^{2x} dx - \int \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9} dx$.माना $u = \sqrt{2}e^x$,तो $du = \sqrt{2}e^x dx$,अतः $e^x dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$.$y = \frac{1}{2}e^{2x} - \sqrt{2} 	an^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^x}{3}) + C$.बिंदु $(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}})$ का उपयोग करने पर:$C = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} 	an^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.बिंदु $(\alpha, \frac{1}{2}e^{2\alpha})$ का उपयोग करने पर:$	an^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3}) = \frac{\pi}{4} + 	an^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.दोनों पक्षों में $	an$ लेने पर:$\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3} = \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$.अतः,$e^{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{2}} \left(\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}ight)$.

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