(1+y^2)+(x-e^{tan ^{-1} y}) frac{dy}{dx}=0 का | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+

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$2x e^{	an ^{-1} y}=e^{2 	an ^{-1} y}+k$,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$. व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$. यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an ^{-1} y}$ है। हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + k$ है। $x \cdot e^{	an ^{-1} y} = \int \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{	an ^{-1} y} dy + k$. माना $u = 	an ^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$. $x \cdot e^{	an ^{-1} y} = \int e^{2u} du + k = \frac{1}{2} e^{2u} + k = \frac{1}{2} e^{2 	an ^{-1} y} + k$. $2$ से गुणा करने पर: $2x e^{	an ^{-1} y} = e^{2 	an ^{-1} y} + 2k$. चूँकि $2k$ भी एक स्थिरांक है,हम इसे $k$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$2x e^{	an ^{-1} y} = e^{2 	an ^{-1} y} + k$.

$(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ का हल ज्ञात कीजिए।

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