$25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$, $y(0)=1, y(1)=2 e^{1 / 5}$ નો ઉકેલ શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $(\tan^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ નો ઉકેલ વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો વક્ર પરના તે બિંદુનો x-યામ શોધો જેનો y-યામ $\tan(1)$ હોય.

વિકલનીય વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $f^{\prime}(x)=3 f(x)+\alpha$,જ્યાં $\alpha \in \mathbb{R}, f(0)=1$ અને $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=7$. તો $9 f\left(-\log _{e} 3\right)$ ની કિંમત ............ થાય.

જો $y = \left(\frac{2}{\pi} x - 1\right) \operatorname{cosec} x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$,તો વિધેય $p(x)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વિકલનીય વિધેય હોય કે જેથી $f(1) = 1$ અને દરેક $x > 0$ માટે $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$ હોય,તો $f(\frac{3}{2})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \geq 1$ માટે $10 \int_1^{x} f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$ હોય,તો $f(3)$ નું મૂલ્ય શોધો: