frac{dy}{dx} = sin(x + y) + cos(x + y) का हल | vedclass

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Question

(B) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{dv

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$\log \left[ 1 + 	an \left( \frac{x + y}{2} ight) ight] = x + c$

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(B) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$.$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v + \sin v$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $1 + \cos v = 2\cos^2(v/2)$ और $\sin v = 2\sin(v/2)\cos(v/2)$.$\frac{dv}{dx} = 2\cos^2(v/2) + 2\sin(v/2)\cos(v/2) = 2\cos^2(v/2) [1 + 	an(v/2)]$.चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^2(v/2) dv}{2[1 + 	an(v/2)]} = dx$.माना $u = 1 + 	an(v/2)$,तब $du = \frac{1}{2}\sec^2(v/2) dv$.समाकलन करने पर: $\int \frac{du}{u} = \int dx$.$\log|u| = x + c$.$u = 1 + 	an(v/2)$ और $v = x + y$ वापस रखने पर: $\log \left[ 1 + 	an \left( \frac{x + y}{2} ight) ight] = x + c$.

$\frac{dy}{dx} = \sin(x + y) + \cos(x + y)$ का हल ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ का हल है, जहाँ $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$ है।

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