વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \frac{3x^2y}{1+x^3} = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y+\cos x(\frac{dy}{dx})-\cos^2 x=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x), x>1$,એ વિકલ સમીકરણ $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=\frac{1+e^{4}}{2 e^{4}}$ છે. જો $y(3)=\frac{e^{\alpha}+1}{\beta e^{\alpha}}$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in [0, \infty)$ માટે $f(x) = 1 - 2x + \int_0^x e^{x-t} f(t) dt$ થાય છે. તો $y = f(x)$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.